父母双方是否可以领取独生子女费，取决于各地的具体政策。以下是不同情况下的说明：

1. 多数地区：通常由父母一方领取。

2. 少数地区：在特定条件下允许双方领取，例如夫妻双方均为职工的，由各自单位各负担50%；一方为职工、另一方无单位或丧偶的，由职工单位全额负担。

3. 特殊情况：

父母离异：通常由直接抚养子女的一方领取。

父母一方去世：由在世一方领取。

一方或双方为灵活就业人员或无业人员：通常由户籍所在地的街道或乡镇政府统一发放，发放对象一般为家庭中的一方。

因此，父母双方都领独生子女费是否合法，需结合当地具体政策来确定。建议咨询当地计生部门或法律顾问以获取准确信息。